Les flexaèdres ne fument pas

Texte intégral

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Les flexa`

edres ne fument pas

Jean Pierre BOURGUIGNON (CNRS-Institut des Hautes ´Etudes Scientifiques)

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

esum´

e

Pr´esenter l’histoire d’un probl`eme concret de g´eom´etrie classique : sa formulation

sa solution en 1977

le rˆole jou´e par l’IH´ES dans cette histoire

des raffinements de la solution

(3)

esum´

e

Pr´esenter l’histoire d’un probl`eme concret de g´eom´etrie classique : sa formulation

sa solution en 1977

le rˆole jou´e par l’IH´ES dans cette histoire des raffinements de la solution

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

esum´

e

Pr´esenter l’histoire d’un probl`eme concret de g´eom´etrie classique : sa formulation

sa solution en 1977

le rˆole jou´e par l’IH´ES dans cette histoire

des raffinements de la solution

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esum´

e

Pr´esenter l’histoire d’un probl`eme concret de g´eom´etrie classique : sa formulation

sa solution en 1977

le rˆole jou´e par l’IH´ES dans cette histoire des raffinements de la solution

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

esum´

e

Pr´esenter l’histoire d’un probl`eme concret de g´eom´etrie classique : sa formulation

sa solution en 1977

le rˆole jou´e par l’IH´ES dans cette histoire des raffinements de la solution

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esum´

e

Pr´esenter l’histoire d’un probl`eme concret de g´eom´etrie classique : sa formulation

sa solution en 1977

le rˆole jou´e par l’IH´ES dans cette histoire des raffinements de la solution

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

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Dans le plan

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Dans le plan

La figure la plus simple : le triangle.

(11)

Dans le plan

La figure la plus simple : le triangle.

Un triangle est d´etermin´e par la longueur de ses cˆot´es. Un triangle est donc rigide.

Un triangle est convexe.

Sa surface peut ˆetre calcul´ee `a partir des longueurs des cˆot´es par une formule due `a H´eron d’Alexandrie

Surface(ABC ) = 1

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Dans le plan

La figure la plus simple : le triangle.

Un triangle est d´etermin´e par la longueur de ses cˆot´es. Un triangle est donc rigide.

Un triangle est convexe.

Sa surface peut ˆetre calcul´ee `a partir des longueurs des cˆot´es par une formule due `a H´eron d’Alexandrie

Surface(ABC ) = 1

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Dans le plan

La figure la plus simple : le triangle.

Un triangle est d´etermin´e par la longueur de ses cˆot´es. Un triangle est donc rigide.

Un triangle est convexe.

Sa surface peut ˆetre calcul´ee `a partir des longueurs des cˆot´es par une formule due `a H´eron d’Alexandrie

Surface(ABC ) = 1

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Dans le plan

La figure la plus simple : le triangle.

Un triangle est d´etermin´e par la longueur de ses cˆot´es. Un triangle est donc rigide.

Un triangle est convexe.

Sa surface peut ˆetre calcul´ee `a partir des longueurs des cˆot´es par une formule due `a H´eron d’Alexandrie

Surface(ABC ) = 1

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Dans le plan

La figure la plus simple : le triangle.

Un triangle est d´etermin´e par la longueur de ses cˆot´es. Un triangle est donc rigide.

Un triangle est convexe.

Sa surface peut ˆetre calcul´ee `a partir des longueurs des cˆot´es par une formule due `a H´eron d’Alexandrie

Surface(ABC ) = 1

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Dans le plan (suite)

Les figures planes plus compliqu´ees : quadrilat`eres, polygones.

Les quadrilat`eres se d´eforment mˆeme s’ils sont convexes.

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Dans le plan (suite)

Les figures planes plus compliqu´ees : quadrilat`eres, polygones.

Les quadrilat`eres se d´eforment mˆeme s’ils sont convexes.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Dans le plan (suite)

Les figures planes plus compliqu´ees : quadrilat`eres, polygones.

Les quadrilat`eres se d´eforment mˆeme s’ils sont convexes.

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Dans le plan (suite)

Les figures planes plus compliqu´ees : quadrilat`eres, polygones.

Les quadrilat`eres se d´eforment mˆeme s’ils sont convexes.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Dans le plan (suite)

Les figures planes plus compliqu´ees : quadrilat`eres, polygones.

Les quadrilat`eres se d´eforment mˆeme s’ils sont convexes. Leur surface se modifie dans la d´eformation.

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Dans le plan (suite)

Les figures planes plus compliqu´ees : quadrilat`eres, polygones.

Les quadrilat`eres se d´eforment mˆeme s’ils sont convexes. Leur surface se modifie dans la d´eformation.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

A trois dimensions

La figure la plus simple : le t´etra`edre.

Il a 4 sommets, 6 arˆetes et 4 faces. C’est un poly`edre convexe.

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A trois dimensions

La figure la plus simple : le t´etra`edre.

Il a 4 sommets, 6 arˆetes et 4 faces.

C’est un poly`edre convexe. Il est rigide.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

A trois dimensions

La figure la plus simple : le t´etra`edre.

Il a 4 sommets, 6 arˆetes et 4 faces. C’est un poly`edre convexe.

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A trois dimensions

La figure la plus simple : le t´etra`edre.

Il a 4 sommets, 6 arˆetes et 4 faces. C’est un poly`edre convexe.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

A trois dimensions

La figure la plus simple : le t´etra`edre.

Il a 4 sommets, 6 arˆetes et 4 faces. C’est un poly`edre convexe.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Un r´

esultat important

Th´eor`eme (Louis-Augustin CAUCHY), 1813

Un poly`edre convexe ne peut ˆetre d´eform´e en gardant chacune de ses faces rigides.

La preuve s’appuie sur une analyse des angles di`edres. Se nourrit d’id´ees introduites par Adrien-Marie LEGENDRE.

Question

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Un r´

esultat important

Th´eor`eme (Louis-Augustin CAUCHY), 1813

Un poly`edre convexe ne peut ˆetre d´eform´e en gardant chacune de ses faces rigides.

La preuve s’appuie sur une analyse des angles di`edres.

Se nourrit d’id´ees introduites par Adrien-Marie LEGENDRE.

Question

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Un r´

esultat important

Th´eor`eme (Louis-Augustin CAUCHY), 1813

Un poly`edre convexe ne peut ˆetre d´eform´e en gardant chacune de ses faces rigides.

La preuve s’appuie sur une analyse des angles di`edres. Se nourrit d’id´ees introduites par Adrien-Marie LEGENDRE. Question

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Un r´

esultat important

Th´eor`eme (Louis-Augustin CAUCHY), 1813

Un poly`edre convexe ne peut ˆetre d´eform´e en gardant chacune de ses faces rigides.

La preuve s’appuie sur une analyse des angles di`edres. Se nourrit d’id´ees introduites par Adrien-Marie LEGENDRE. Question

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Un r´

esultat important

Th´eor`eme (Louis-Augustin CAUCHY), 1813

Un poly`edre convexe ne peut ˆetre d´eform´e en gardant chacune de ses faces rigides.

La preuve s’appuie sur une analyse des angles di`edres. Se nourrit d’id´ees introduites par Adrien-Marie LEGENDRE. Question

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

La d´

ecouverte des premiers flexa`

edres

Raoul BRICARD ´etudie en d´etail les octa`edres, et en 1897 en fabrique un qui est flexible mais dont les faces se recoupent.

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La d´

ecouverte des premiers flexa`

edres

Raoul BRICARD ´etudie en d´etail les octa`edres, et en 1897 en fabrique un qui est flexible mais dont les faces se recoupent.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

La d´

ecouverte des premiers flexa`

edres

Raoul BRICARD ´etudie en d´etail les octa`edres, et en 1897 en fabrique un qui est flexible mais dont les faces se recoupent.

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La d´

ecouverte des premiers flexa`

edres (suite)

Th´eor`eme (Robert CONNELLY), 1977 Il existe un flexa`edre `a 18 sommets.

CONNELLY utilise des octa`edres de BRICART qu’il

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

La d´

ecouverte des premiers flexa`

edres (suite)

Th´eor`eme (Robert CONNELLY), 1977 Il existe un flexa`edre `a 18 sommets.

CONNELLY utilise des octa`edres de BRICART qu’il

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La d´

ecouverte des premiers flexa`

edres (suite)

Th´eor`eme (Robert CONNELLY), 1977 Il existe un flexa`edre `a 18 sommets.

CONNELLY utilise des octa`edres de BRICART qu’il

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

La d´

ecouverte des premiers flexa`

edres (suite)

Th´eor`eme (Robert CONNELLY), 1977 Il existe un flexa`edre `a 18 sommets.

CONNELLY utilise des octa`edres de BRICART qu’il

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

L’IH´

ES comme creuset

CONNELLY est invit´e `a l’IH´ES par Dennis SULLIVAN pour l’ann´ee acad´emique 1975-1976.

Beaucoup de travail mais pas encore de solution. En juin 1977, CONNELLY trouve son contre-exemple.

Nicolas KUIPER, alors directeur de l’IH´ES, le fait publier aux

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L’IH´

ES comme creuset

CONNELLY est invit´e `a l’IH´ES par Dennis SULLIVAN pour l’ann´ee acad´emique 1975-1976.

Beaucoup de travail mais pas encore de solution.

En juin 1977, CONNELLY trouve son contre-exemple. Nicolas KUIPER, alors directeur de l’IH´ES, le fait publier aux Publications Math´ematiques de l’IH´ES.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

L’IH´

ES comme creuset

CONNELLY est invit´e `a l’IH´ES par Dennis SULLIVAN pour l’ann´ee acad´emique 1975-1976.

Beaucoup de travail mais pas encore de solution. En juin 1977, CONNELLY trouve son contre-exemple.

Nicolas KUIPER, alors directeur de l’IH´ES, le fait publier aux Publications Math´ematiques de l’IH´ES.

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L’IH´

ES comme creuset

CONNELLY est invit´e `a l’IH´ES par Dennis SULLIVAN pour l’ann´ee acad´emique 1975-1976.

Beaucoup de travail mais pas encore de solution. En juin 1977, CONNELLY trouve son contre-exemple. Nicolas KUIPER, alors directeur de l’IH´ES, le fait publier aux Publications Math´ematiques de l’IH´ES.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

L’IH´

ES comme creuset

CONNELLY est invit´e `a l’IH´ES par Dennis SULLIVAN pour l’ann´ee acad´emique 1975-1976.

Beaucoup de travail mais pas encore de solution. En juin 1977, CONNELLY trouve son contre-exemple. Nicolas KUIPER, alors directeur de l’IH´ES, le fait publier aux Publications Math´ematiques de l’IH´ES.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

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Des raffinements du r´

esultat

KUIPER et Pierre DELIGNE construisent un flexa`edre `a 11 sommets.

Klaus STEFFEN construit le flexa`edre qui, `a ce jour, a le moins de sommets, soit 9.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Des raffinements du r´

esultat

KUIPER et Pierre DELIGNE construisent un flexa`edre `a 11 sommets.

Klaus STEFFEN construit le flexa`edre qui, `a ce jour, a le moins de sommets, soit 9.

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Des raffinements du r´

esultat

KUIPER et Pierre DELIGNE construisent un flexa`edre `a 11 sommets.

Klaus STEFFEN construit le flexa`edre qui, `a ce jour, a le moins de sommets, soit 9.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Des raffinements du r´

esultat

KUIPER et Pierre DELIGNE construisent un flexa`edre `a 11 sommets.

Klaus STEFFEN construit le flexa`edre qui, `a ce jour, a le moins de sommets, soit 9.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Les flexa`

edres fument-ils ?

La l´egende veut que SULLIVAN ait un jour souffl´e la fum´ee de sa pipe dans le flexa`edre.

Il aurait constat´e qu’en d´eformant le flexa`edre, la fum´ee ne sortait pas.

CONNELLY a pu montrer que ce flexa`edre-l`a ne “fumait” pas.

La conjecture du “soufflet” ´etait n´ee.

Conjecture du soufflet

Dans leur d´eformation les flexa`edres ne changent pas de volume, donc ne “fument” pas.

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Les flexa`

edres fument-ils ?

La l´egende veut que SULLIVAN ait un jour souffl´e la fum´ee de sa pipe dans le flexa`edre.

Il aurait constat´e qu’en d´eformant le flexa`edre, la fum´ee ne sortait pas.

CONNELLY a pu montrer que ce flexa`edre-l`a ne “fumait” pas. La conjecture du “soufflet” ´etait n´ee.

Conjecture du soufflet

Dans leur d´eformation les flexa`edres ne changent pas de volume, donc ne “fument” pas.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Les flexa`

edres fument-ils ?

La l´egende veut que SULLIVAN ait un jour souffl´e la fum´ee de sa pipe dans le flexa`edre.

Il aurait constat´e qu’en d´eformant le flexa`edre, la fum´ee ne sortait pas.

CONNELLY a pu montrer que ce flexa`edre-l`a ne “fumait” pas.

La conjecture du “soufflet” ´etait n´ee.

Conjecture du soufflet

Dans leur d´eformation les flexa`edres ne changent pas de volume, donc ne “fument” pas.

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Les flexa`

edres fument-ils ?

La l´egende veut que SULLIVAN ait un jour souffl´e la fum´ee de sa pipe dans le flexa`edre.

Il aurait constat´e qu’en d´eformant le flexa`edre, la fum´ee ne sortait pas.

CONNELLY a pu montrer que ce flexa`edre-l`a ne “fumait” pas. La conjecture du “soufflet” ´etait n´ee.

Conjecture du soufflet

Dans leur d´eformation les flexa`edres ne changent pas de volume, donc ne “fument” pas.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Les flexa`

edres fument-ils ?

La l´egende veut que SULLIVAN ait un jour souffl´e la fum´ee de sa pipe dans le flexa`edre.

Il aurait constat´e qu’en d´eformant le flexa`edre, la fum´ee ne sortait pas.

CONNELLY a pu montrer que ce flexa`edre-l`a ne “fumait” pas. La conjecture du “soufflet” ´etait n´ee.

Conjecture du soufflet

Dans leur d´eformation les flexa`edres ne changent pas de volume, donc ne “fument” pas.

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Les flexa`

edres fument-ils ?

La l´egende veut que SULLIVAN ait un jour souffl´e la fum´ee de sa pipe dans le flexa`edre.

Il aurait constat´e qu’en d´eformant le flexa`edre, la fum´ee ne sortait pas.

CONNELLY a pu montrer que ce flexa`edre-l`a ne “fumait” pas. La conjecture du “soufflet” ´etait n´ee.

Conjecture du soufflet

Dans leur d´eformation les flexa`edres ne changent pas de volume, donc ne “fument” pas.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le contexte de la conjecture

Dans certains exemples de poly`edres g´en´eralis´es, comme celui des “kal´eidocycles”, la conservation du volume est une ´evidence.

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Le contexte de la conjecture

Dans certains exemples de poly`edres g´en´eralis´es, comme celui des “kal´eidocycles”, la conservation du volume est une ´evidence.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le contexte de la conjecture

Dans certains exemples de poly`edres g´en´eralis´es, comme celui des “kal´eidocycles”, la conservation du volume est une ´evidence.

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Le contexte de la conjecture

Dans certains exemples de poly`edres g´en´eralis´es, comme celui des “kal´eidocycles”, la conservation du volume est une ´evidence.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

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Le calcul du volume des poly`

edres

Une formule donnant le volume d’un t´etra`edre ABCD semble avoir ´et´e connue de Niccolo Fontana TARTAGLIA au d´ebut du XVI`eme

si`ecle (et red´ecouverte par Leonhard EULER) ”

Volume(ABCD)2 = 1 288det       0 AB2 AC2 AD2 1 AB2 0 BC2 BD2 1 AC2 BC2 0 CD2 1 AD2 BD2 CD2 0 1 1 1 1 1 0      

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le calcul du volume des poly`

edres

Une formule donnant le volume d’un t´etra`edre ABCD semble avoir ´et´e connue de Niccolo Fontana TARTAGLIA au d´ebut du XVI`eme

si`ecle (et red´ecouverte par Leonhard EULER) ”

Volume(ABCD)2 = 1 288det       0 AB2 AC2 AD2 1 AB2 0 BC2 BD2 1 AC2 BC2 0 CD2 1 AD2 BD2 CD2 0 1 1 1 1 1 0      

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Le calcul du volume des poly`

edres

Une formule donnant le volume d’un t´etra`edre ABCD semble avoir ´et´e connue de Niccolo Fontana TARTAGLIA au d´ebut du XVI`eme

si`ecle (et red´ecouverte par Leonhard EULER) ”

Volume(ABCD)2 = 1 288det       0 AB2 AC2 AD2 1 AB2 0 BC2 BD2 1 AC2 BC2 0 CD2 1 AD2 BD2 CD2 0 1 1 1 1 1 0      

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le calcul du volume des poly`

edres

Une formule donnant le volume d’un t´etra`edre ABCD semble avoir ´et´e connue de Niccolo Fontana TARTAGLIA au d´ebut du XVI`eme

si`ecle (et red´ecouverte par Leonhard EULER) ”

Volume(ABCD)2 = 1 288det       0 AB2 AC2 AD2 1 AB2 0 BC2 BD2 1 AC2 BC2 0 CD2 1 AD2 BD2 CD2 0 1 1 1 1 1 0      

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Le calcul du volume des poly`

edres

Une formule donnant le volume d’un t´etra`edre ABCD semble avoir ´et´e connue de Niccolo Fontana TARTAGLIA au d´ebut du XVI`eme

si`ecle (et red´ecouverte par Leonhard EULER) ”

Volume(ABCD)2 = 1 288det       0 AB2 AC2 AD2 1 AB2 0 BC2 BD2 1 AC2 BC2 0 CD2 1 AD2 BD2 CD2 0 1 1 1 1 1 0      

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le calcul du volume des poly`

edres

Le cas d’un poly`edre g´en´eral peut ˆetre trait´epar d´ecoupage en t´etra`edres.

Ceci est possible `a cause d’un th´eor`eme de Idzhad SABITOV obtenu en 1996, simplifi´e par CONNELLY, SABITOV et Anke WALZ en 1997.

Calcul du volume d’un poly`edre

Le carr´e du volume d’un poly`edre est racine d’une ´equation

polynomiale dont les coefficients s’expriment `a partir des carr´es des longueurs des arˆetes de toute triangulation du poly`edre.

C’est une g´en´eralisation de la formule de H´eron pour la surface des triangles et de la formule de Tartaglia pour le volume des t´etra`edres.

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Le calcul du volume des poly`

edres

Le cas d’un poly`edre g´en´eral peut ˆetre trait´e par d´ecoupage en t´etra`edres.

Ceci est possible `a cause d’un th´eor`eme de Idzhad SABITOV obtenu en 1996, simplifi´e par CONNELLY, SABITOV et Anke WALZ en 1997.

Calcul du volume d’un poly`edre

Le carr´e du volume d’un poly`edre est racine d’une ´equation

polynomiale dont les coefficients s’expriment `a partir des carr´es des longueurs des arˆetes de toute triangulation du poly`edre.

C’est une g´en´eralisation de la formule de H´eron pour la surface des triangles et de la formule de Tartaglia pour le volume des t´etra`edres.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le calcul du volume des poly`

edres

Le cas d’un poly`edre g´en´eral peut ˆetre trait´e par d´ecoupage en t´etra`edres.

Ceci est possible `a cause d’un th´eor`eme de Idzhad SABITOV obtenu en 1996, simplifi´e par CONNELLY, SABITOV et Anke WALZ en 1997.

Calcul du volume d’un poly`edre

Le carr´e du volume d’un poly`edre est racine d’une ´equation

polynomiale dont les coefficients s’expriment `a partir des carr´es des longueurs des arˆetes de toute triangulation du poly`edre.

C’est une g´en´eralisation de la formule de H´eron pour la surface des triangles et de la formule de Tartaglia pour le volume des t´etra`edres.

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Le calcul du volume des poly`

edres

Le cas d’un poly`edre g´en´eral peut ˆetre trait´e par d´ecoupage en t´etra`edres.

Ceci est possible `a cause d’un th´eor`eme de Idzhad SABITOV obtenu en 1996, simplifi´e par CONNELLY, SABITOV et Anke WALZ en 1997.

Calcul du volume d’un poly`edre

Le carr´e du volume d’un poly`edre est racine d’une ´equation

polynomiale dont les coefficients s’expriment `a partir des carr´es des longueurs des arˆetes de toute triangulation du poly`edre.

C’est une g´en´eralisation de la formule de H´eron pour la surface des triangles et de la formule de Tartaglia pour le volume des t´etra`edres.

(78)

1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le calcul du volume des poly`

edres

Le cas d’un poly`edre g´en´eral peut ˆetre trait´e par d´ecoupage en t´etra`edres.

Ceci est possible `a cause d’un th´eor`eme de Idzhad SABITOV obtenu en 1996, simplifi´e par CONNELLY, SABITOV et Anke WALZ en 1997.

Calcul du volume d’un poly`edre

Le carr´e du volume d’un poly`edre est racine d’une ´equation

polynomiale dont les coefficients s’expriment `a partir des carr´es des longueurs des arˆetes de toute triangulation du poly`edre.

C’est une g´en´eralisation de la formule de H´eron pour la surface des triangles et de la formule de Tartaglia pour le volume des t´etra`edres.

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Le calcul du volume des poly`

edres

Le cas d’un poly`edre g´en´eral peut ˆetre trait´e par d´ecoupage en t´etra`edres.

Ceci est possible `a cause d’un th´eor`eme de Idzhad SABITOV obtenu en 1996, simplifi´e par CONNELLY, SABITOV et Anke WALZ en 1997.

Calcul du volume d’un poly`edre

Le carr´e du volume d’un poly`edre est racine d’une ´equation

polynomiale dont les coefficients s’expriment `a partir des carr´es des longueurs des arˆetes de toute triangulation du poly`edre.

C’est une g´en´eralisation de la formule de H´eron pour la surface des triangles et de la formule de Tartaglia pour le volume des t´etra`edres.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le calcul du volume des poly`

edres

Le cas d’un poly`edre g´en´eral peut ˆetre trait´e par d´ecoupage en t´etra`edres.

Ceci est possible `a cause d’un th´eor`eme de Idzhad SABITOV obtenu en 1996, simplifi´e par CONNELLY, SABITOV et Anke WALZ en 1997.

Calcul du volume d’un poly`edre

Le carr´e du volume d’un poly`edre est racine d’une ´equation

polynomiale dont les coefficients s’expriment `a partir des carr´es des longueurs des arˆetes de toute triangulation du poly`edre.

C’est une g´en´eralisation de la formule de H´eron pour la surface des triangles et de la formule de Tartaglia pour le volume des t´etra`edres.

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Le th´

eor`

eme du soufflet

En d´eformant un poly`edre continˆument sans changer la longueur de ses arˆetes, son volume ne peut sauter d’une racine du polynˆome donn´e par le th`eor`eme pr´ec´edent `a une autre.

D’o`u

Th´eor`eme du soufflet

Le volume d’un flexa`edre ne change pas dans sa d´eformation, et donc “les flexa`edres ne fument pas”.

La m´ethode de preuve utilise une construction d’alg`ebre pure a priori ´etrang`ere `a la question g´eom´etrique consid´er´ee.

Il s’agit de montrer qu’`a partir de la formule de Tartaglia on

obtient le volume par “extension successive” du poly`edre en suivant son patron grˆace `a la th´eorie alg´ebrique des valuations et une r´ecurrence sur la complexit´e du poly`edre.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le th´

eor`

eme du soufflet

En d´eformant un poly`edre continˆument sans changer la longueur de ses arˆetes, son volume ne peut sauter d’une racine du polynˆome donn´e par le th`eor`eme pr´ec´edent `a une autre. D’o`u

Th´eor`eme du soufflet

Le volume d’un flexa`edre ne change pas dans sa d´eformation, et donc “les flexa`edres ne fument pas”.

La m´ethode de preuve utilise une construction d’alg`ebre pure a priori ´etrang`ere `a la question g´eom´etrique consid´er´ee.

Il s’agit de montrer qu’`a partir de la formule de Tartaglia on

obtient le volume par “extension successive” du poly`edre en suivant son patron grˆace `a la th´eorie alg´ebrique des valuations et une r´ecurrence sur la complexit´e du poly`edre.

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Le th´

eor`

eme du soufflet

En d´eformant un poly`edre continˆument sans changer la longueur de ses arˆetes, son volume ne peut sauter d’une racine du polynˆome donn´e par le th`eor`eme pr´ec´edent `a une autre. D’o`u

Th´eor`eme du soufflet

Le volume d’un flexa`edre ne change pas dans sa d´eformation, et donc “les flexa`edres ne fument pas”.

La m´ethode de preuve utilise une construction d’alg`ebre pure a priori ´etrang`ere `a la question g´eom´etrique consid´er´ee.

Il s’agit de montrer qu’`a partir de la formule de Tartaglia on

obtient le volume par “extension successive” du poly`edre en suivant son patron grˆace `a la th´eorie alg´ebrique des valuations et une r´ecurrence sur la complexit´e du poly`edre.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le th´

eor`

eme du soufflet

En d´eformant un poly`edre continˆument sans changer la longueur de ses arˆetes, son volume ne peut sauter d’une racine du polynˆome donn´e par le th`eor`eme pr´ec´edent `a une autre. D’o`u

Th´eor`eme du soufflet

Le volume d’un flexa`edre ne change pas dans sa d´eformation, et donc “les flexa`edres ne fument pas”.

La m´ethode de preuve utilise une construction d’alg`ebre pure a priori ´etrang`ere `a la question g´eom´etrique consid´er´ee. Il s’agit de montrer qu’`a partir de la formule de Tartaglia on obtient le volume par “extension successive” du poly`edre en suivant son patron grˆace `a la th´eorie alg´ebrique des valuations et une r´ecurrence sur la complexit´e du poly`edre.

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Le th´

eor`

eme du soufflet

En d´eformant un poly`edre continˆument sans changer la longueur de ses arˆetes, son volume ne peut sauter d’une racine du polynˆome donn´e par le th`eor`eme pr´ec´edent `a une autre. D’o`u

Th´eor`eme du soufflet

Le volume d’un flexa`edre ne change pas dans sa d´eformation, et donc “les flexa`edres ne fument pas”.

La m´ethode de preuve utilise une construction d’alg`ebre pure a priori ´etrang`ere `a la question g´eom´etrique consid´er´ee.

Il s’agit de montrer qu’`a partir de la formule de Tartaglia on obtient le volume par “extension successive” du poly`edre en suivant son patron grˆace `a la th´eorie alg´ebrique des valuations et une r´ecurrence sur la complexit´e du poly`edre.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Le th´

eor`

eme du soufflet

En d´eformant un poly`edre continˆument sans changer la longueur de ses arˆetes, son volume ne peut sauter d’une racine du polynˆome donn´e par le th`eor`eme pr´ec´edent `a une autre. D’o`u

Th´eor`eme du soufflet

Le volume d’un flexa`edre ne change pas dans sa d´eformation, et donc “les flexa`edres ne fument pas”.

La m´ethode de preuve utilise une construction d’alg`ebre pure a priori ´etrang`ere `a la question g´eom´etrique consid´er´ee. Il s’agit de montrer qu’`a partir de la formule de Tartaglia on obtient le volume par “extension successive” du poly`edre en suivant son patron grˆace `a la th´eorie alg´ebrique des valuations et une r´ecurrence sur la complexit´e du poly`edre.

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Le th´

eor`

eme du soufflet

En d´eformant un poly`edre continˆument sans changer la longueur de ses arˆetes, son volume ne peut sauter d’une racine du polynˆome donn´e par le th`eor`eme pr´ec´edent `a une autre. D’o`u

Th´eor`eme du soufflet

Le volume d’un flexa`edre ne change pas dans sa d´eformation, et donc “les flexa`edres ne fument pas”.

La m´ethode de preuve utilise une construction d’alg`ebre pure a priori ´etrang`ere `a la question g´eom´etrique consid´er´ee. Il s’agit de montrer qu’`a partir de la formule de Tartaglia on obtient le volume par “extension successive” du poly`edre en suivant son patron grˆace `a la th´eorie alg´ebrique des valuations et une r´ecurrence sur la complexit´e du poly`edre.

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1. Formulation du probl`eme 2. Des flexa`edres 3. Liens avec l’IH´ES 4. Le th´eor`eme du soufflet

Merci pour votre attention.

Jean Pierre BOURGUIGNON Institut des Hautes ´Etudes Scientifiques

35, route de Chartres F-91440 BURES-SUR-YVETTE

(France) [email protected]

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